Los divisores de 24 son los números que pueden dividir 24 de forma exacta, es decir, sin dejar resto. Son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. En total, el número 24 tiene 8 divisores positivos.
Encontrarlos es sencillo si se buscan sus parejas de factores o se utiliza la descomposición en números primos. Estos métodos sirven además para calcular los divisores de cualquier otro número sin tener que probar todas las posibilidades.
Cuáles son los divisores de 24
La lista completa de divisores positivos es: {1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 24}
Podemos comprobarlos dividiendo 24 entre cada uno:
| Divisor | División | Resultado | ¿Exacta? |
| 1 | (24\div1) | 24 | Sí |
| 2 | (24\div2) | 12 | Sí |
| 3 | (24\div3) | 8 | Sí |
| 4 | (24\div4) | 6 | Sí |
| 6 | (24\div6) | 4 | Sí |
| 8 | (24\div8) | 3 | Sí |
| 12 | (24\div12) | 2 | Sí |
| 24 | (24\div24) | 1 | Sí |
Todas las divisiones producen un número entero y dejan resto 0.
Por eso todos ellos son divisores.
Qué significa que un número sea divisor de 24
Un número (d) es divisor de 24 cuando existe otro número entero que, multiplicado por (d), da 24.
Por ejemplo:
[
24=3\cdot8
]
Por tanto:
3 divide a 24
y:
8 divide a 24.
También podemos comprobarlo mediante una división:
[
24\div3=8
]
Como el resultado es entero y no sobra nada, 3 es divisor de 24.
En cambio:
[
24\div5=4,8
]
El resultado no es entero.
Por eso:
[
\boxed{5\text{ no es divisor de }24}
]
Cómo encontrar los divisores de 24 mediante parejas de factores
El método más intuitivo consiste en buscar parejas de números cuyo producto sea 24.
Empezamos por 1:
[
1\cdot24=24
]
Tenemos la primera pareja:
[
(1,24)
]
Seguimos:
[
2\cdot12=24
]
Segunda pareja:
[
(2,12)
]
Después:
[
3\cdot8=24
]
Tercera pareja:
[
(3,8)
]
Y:
[
4\cdot6=24
]
Cuarta pareja:
[
(4,6)
]
Ya tenemos todos los divisores:
[
\boxed{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 24}
]
Este sistema es especialmente práctico con números pequeños.
Las parejas de divisores de 24
Los divisores aparecen emparejados porque cada uno tiene otro factor que completa el producto 24.
| Primer divisor | Segundo divisor | Producto |
| 1 | 24 | (1\cdot24=24) |
| 2 | 12 | (2\cdot12=24) |
| 3 | 8 | (3\cdot8=24) |
| 4 | 6 | (4\cdot6=24) |
Esta tabla permite encontrar los ocho divisores sin probar números innecesarios.
Una vez encontrada la pareja (4) y (6), las combinaciones siguientes empezarían a repetirse en orden inverso.
Por ejemplo:
[
6\cdot4
]
no añade divisores nuevos.
Cómo encontrar los divisores mediante divisiones exactas
Otra posibilidad consiste en comprobar qué números dividen exactamente a 24.
Probamos desde 1:
[
24\div1=24
]
Sí.
[
24\div2=12
]
Sí.
[
24\div3=8
]
Sí.
[
24\div4=6
]
Sí.
[
24\div5=4,8
]
No.
[
24\div6=4
]
Sí.
Y seguimos hasta llegar a 24.
Un número será divisor cuando la división tenga:
[
\boxed{\text{resto}=0}
]
Este método funciona siempre, aunque para números grandes puede resultar lento.
Cómo encontrar los divisores de 24 con factores primos
La forma más sistemática consiste en utilizar la descomposición en factores primos.
Empezamos dividiendo 24 entre 2:
[
24=2\cdot12
]
Volvemos a dividir 12:
[
12=2\cdot6
]
Y:
[
6=2\cdot3
]
Por tanto:
[
24=2\cdot2\cdot2\cdot3
]
Es decir:
[
\boxed{24=2^3\cdot3}
]
A partir de esta expresión podemos construir todos sus divisores combinando las potencias posibles de 2 y 3.
Para (2^3), podemos utilizar:
[
2^0,\ 2^1,\ 2^2,\ 2^3
]
es decir:
[
1,\ 2,\ 4,\ 8
]
Para (3^1):
[
3^0,\ 3^1
]
es decir:
[
1,\ 3
]
Combinándolos obtenemos:
[
1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 3,\ 6,\ 12,\ 24
]
Ordenados:
[
\boxed{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 24}
]
Cuántos divisores tiene 24
La factorización prima también permite saber cuántos divisores tiene un número sin enumerarlos uno por uno.
Sabemos que:
[
24=2^3\cdot3^1
]
Para calcular el número de divisores, sumamos 1 a cada exponente y multiplicamos:
[
(3+1)(1+1)
]
[
4\cdot2=8
]
Por tanto:
[
\boxed{24\text{ tiene 8 divisores positivos}}
]
Esta fórmula puede aplicarse a cualquier número.
Si:
[
n=p^a q^b
]
su número de divisores es:
[
\boxed{(a+1)(b+1)}
]
Y se amplía de la misma manera cuando aparecen más factores primos.
Por qué 1 y 24 también son divisores
A veces se olvidan los extremos de la lista.
1 siempre divide a cualquier número entero, porque:
[
24\div1=24
]
Y cualquier número distinto de cero es divisor de sí mismo:
[
24\div24=1
]
Por tanto, al buscar los divisores positivos de un número (n), sabemos de antemano que estarán:
[
\boxed{1\text{ y }n}
]
Para 24:
[
\boxed{1\text{ y }24}
]
¿2 es divisor de 24?
Sí.
Como 24 es un número par:
[
24\div2=12
]
La división es exacta.
Por tanto:
[
\boxed{2\mid24}
]
La expresión (2\mid24) significa «2 divide a 24».
¿3 es divisor de 24?
Sí:
[
24\div3=8
]
También podemos utilizar el criterio de divisibilidad del 3.
Sumamos las cifras de 24:
[
2+4=6
]
Como 6 es múltiplo de 3, 24 también es divisible entre 3.
¿4 es divisor de 24?
Sí:
[
24\div4=6
]
Por tanto:
[
\boxed{4\text{ es divisor de }24}
]
También podemos verlo mediante su factorización:
[
4=2^2
]
y:
[
24=2^3\cdot3
]
24 contiene suficientes factores 2 para que 4 pueda dividirlo exactamente.
¿6 es divisor de 24?
Sí:
[
24\div6=4
]
Por eso 6 forma pareja con 4:
[
\boxed{4\cdot6=24}
]
Además, como 24 es divisible entre 2 y entre 3, también lo es entre 6.
¿8 es divisor de 24?
Sí:
[
24\div8=3
]
La división no deja resto.
Por tanto:
[
\boxed{8\text{ es divisor de }24}
]
Forma la pareja:
[
3\cdot8=24
]
¿5 es divisor de 24?
No.
Tenemos:
[
24\div5=4,8
]
No obtenemos un número entero.
También podemos comprobarlo mediante multiplicaciones:
[
5\cdot4=20
]
[
5\cdot5=25
]
No existe ningún entero que multiplicado por 5 dé exactamente 24.
Por eso:
[
\boxed{5\text{ no es divisor de }24}
]
¿10 es divisor de 24?
Tampoco.
[
24\div10=2,4
]
El resultado no es entero.
Así que:
[
\boxed{10\text{ no divide a }24}
]
No basta con que un número sea menor que 24 para ser divisor.
Tiene que dividirlo exactamente.
Divisores propios de 24
Existe también el concepto de divisor propio.
En muchos contextos escolares se considera divisor propio de un número cualquier divisor positivo distinto del propio número.
Los divisores positivos de 24 son:
[
1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 24
]
Si eliminamos 24:
[
\boxed{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12}
]
Estos son sus divisores propios bajo esta convención.
En algunos textos se excluyen además ciertos casos según la definición empleada, por lo que conviene comprobar qué criterio utiliza el ejercicio.
Divisores primos de 24
Los divisores primos son aquellos divisores de 24 que además son números primos.
Entre:
[
1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 24
]
los únicos números primos son:
[
\boxed{2\text{ y }3}
]
Esto coincide con la descomposición:
[
24=2^3\cdot3
]
Por tanto, los factores primos de 24 son 2 y 3.
Divisores positivos y negativos de 24
Normalmente, cuando un ejercicio pregunta por los «divisores de 24», se esperan los divisores positivos:
[
\boxed{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 24}
]
Pero si trabajamos con todos los números enteros, también existen divisores negativos:
[
-1,\ -2,\ -3,\ -4,\ -6,\ -8,\ -12,\ -24
]
Por ejemplo:
[
24\div(-3)=-8
]
La división sigue siendo exacta.
Así, los divisores enteros de 24 serían:
[
\boxed{\pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm4,\ \pm6,\ \pm8,\ \pm12,\ \pm24}
]
En ejercicios básicos suele utilizarse únicamente la lista positiva salvo que se indique lo contrario.
Diferencia entre divisor y múltiplo de 24
Estos dos conceptos suelen confundirse.
Un divisor de 24 divide a 24 exactamente:
[
1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 24
]
Un múltiplo de 24 se obtiene multiplicando 24 por un número entero:
[
24,\ 48,\ 72,\ 96,\ 120,\ldots
]
Por ejemplo:
8 es divisor de 24
porque:
[
24\div8=3
]
Pero:
48 es múltiplo de 24
porque:
[
24\cdot2=48
]
Los divisores positivos de un número son una cantidad finita; sus múltiplos positivos son infinitos.
Cómo comprobar rápidamente si has encontrado todos
Para números pequeños puedes utilizar las parejas de factores.
En 24 tenemos:
[
1\cdot24
]
[
2\cdot12
]
[
3\cdot8
]
[
4\cdot6
]
Cuando las parejas empiezan a invertirse, ya no aparecerán divisores nuevos.
Otra comprobación consiste en utilizar la factorización prima:
[
24=2^3\cdot3
]
Sabemos que debe tener:
[
(3+1)(1+1)=8
]
divisores.
Si nuestra lista contiene exactamente ocho números y todos dividen a 24, hemos terminado.
Ejercicio resuelto: encontrar los divisores de 24 desde cero
Queremos obtener:
[
D(24)
]
Buscamos productos que den 24:
[
1\cdot24
]
[
2\cdot12
]
[
3\cdot8
]
[
4\cdot6
]
Recogemos todos los factores:
[
1,\ 24,\ 2,\ 12,\ 3,\ 8,\ 4,\ 6
]
Los ordenamos:
[
\boxed{D(24)={1,2,3,4,6,8,12,24}}
]
Esta notación significa que el conjunto de divisores positivos de 24 contiene esos ocho números.
Cómo aplicar el mismo método a otro número
Veamos brevemente el número 18.
Buscamos parejas:
[
1\cdot18
]
[
2\cdot9
]
[
3\cdot6
]
Por tanto:
[
D(18)={1,2,3,6,9,18}
]
El procedimiento utilizado con 24 funciona exactamente igual.
Para números mayores, la factorización prima suele resultar más eficiente.
Los divisores de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. La forma más rápida de encontrarlos a mano consiste en construir las parejas (1\times24), (2\times12), (3\times8) y (4\times6); si necesitamos un método general, la descomposición (24=2^3\cdot3) permite obtenerlos todos y comprobar que deben ser exactamente ocho. Entender estas dos formas de llegar al mismo resultado hace que buscar divisores deje de ser una tarea de ensayo y error.
