La ley de los signos permite saber qué signo tendrá el resultado cuando operamos con números positivos y negativos. La regla más conocida es sencilla: en multiplicaciones y divisiones, signos iguales dan positivo y signos diferentes dan negativo. En sumas y restas, en cambio, el procedimiento es distinto y depende del valor de los números.
Dominar estas reglas evita buena parte de los fallos que aparecen después en álgebra, ecuaciones, fracciones, potencias y operaciones combinadas. La clave es separar dos cuestiones: qué operación estamos realizando y qué signo tiene cada número.
Qué es la ley de los signos
La ley de los signos es el conjunto de reglas utilizadas para operar correctamente con números positivos y negativos.
Los signos son:
- + para los números positivos.
- − para los números negativos.
Por ejemplo:
[
+7
]
es un número positivo, mientras que:
[
-7
]
es negativo.
Cuando el número es positivo, normalmente no escribimos el signo:
[
7=+7
]
El problema aparece cuando tenemos que combinar números con signos diferentes. Ahí entran las reglas.
Tabla de la ley de los signos
Para multiplicar y dividir, la tabla fundamental es esta:
| Primer signo | Segundo signo | Resultado |
| + | + | + |
| + | − | − |
| − | + | − |
| − | − | + |
La regla puede memorizarse así:
signos iguales → positivo
signos diferentes → negativo
Esto funciona tanto para la multiplicación como para la división.
Ley de los signos en la multiplicación
Primero se determina el signo y después se multiplican los valores numéricos.
Positivo por positivo
[
(+4)(+3)=+12
]
Normalmente se escribe simplemente:
[
\boxed{4\cdot3=12}
]
Positivo por negativo
[
(+4)(-3)=-12
]
Los signos son diferentes, por lo que el resultado es negativo:
[
\boxed{-12}
]
Negativo por positivo
[
(-4)(+3)=-12
]
Otra vez tenemos signos diferentes:
[
\boxed{-12}
]
Negativo por negativo
[
(-4)(-3)=+12
]
Los signos son iguales:
[
\boxed{12}
]
Por tanto:
[
\boxed{(-)\cdot(-)=(+)}
]
Por qué menos por menos es más
Esta regla suele memorizarse, pero también puede entenderse.
Consideremos:
[
3(-2)=-6
]
[
2(-2)=-4
]
[
1(-2)=-2
]
[
0(-2)=0
]
Si seguimos el mismo patrón, aumentando de dos en dos:
[
(-1)(-2)=2
]
y:
[
(-2)(-2)=4
]
Así se mantiene la coherencia de las operaciones aritméticas.
Otra forma de verlo es interpretar el signo negativo como tomar el opuesto. Tomar el opuesto de un número negativo produce su correspondiente positivo:
[
-(-5)=5
]
Por eso dos signos negativos consecutivos pueden terminar dando un resultado positivo en determinados contextos.
Ley de los signos en la división
La división utiliza exactamente la misma regla que la multiplicación:
mismo signo → resultado positivo
distinto signo → resultado negativo
Ejemplos
[
(+20)\div(+5)=+4
]
[
(+20)\div(-5)=-4
]
[
(-20)\div(+5)=-4
]
[
(-20)\div(-5)=+4
]
Por tanto:
[
\boxed{(-20)\div(-5)=4}
]
No hace falta memorizar una segunda tabla para la división.
Ley de los signos en la suma
En las sumas la regla cambia.
No podemos utilizar simplemente «signos iguales positivo, signos distintos negativo».
Si los signos son iguales
Se suman los valores y se conserva el signo.
Ejemplo:
[
(+5)+(+3)=+8
]
Resultado:
[
\boxed{8}
]
Con dos números negativos:
[
(-5)+(-3)=-8
]
Resultado:
[
\boxed{-8}
]
Podemos resumirlo así:
[
5+3=8
]
[
-5-3=-8
]
Si los signos son diferentes
Se restan los valores absolutos y se conserva el signo del número con mayor valor absoluto.
Veamos:
[
(-8)+(+3)
]
Restamos:
[
8-3=5
]
El 8 pertenece al número negativo, que tiene mayor valor absoluto.
Por tanto:
[
\boxed{-5}
]
Otro ejemplo:
[
(-4)+(+10)
]
Restamos:
[
10-4=6
]
El número con mayor valor absoluto es (+10), así que:
[
\boxed{6}
]
Qué significa valor absoluto
El valor absoluto representa la distancia de un número respecto del cero, sin tener en cuenta el signo.
Se escribe mediante barras:
[
|5|=5
]
y también:
[
|-5|=5
]
Por eso, al calcular:
[
-9+4
]
comparamos:
[
|-9|=9
]
[
|4|=4
]
Como 9 es mayor que 4, el resultado conservará el signo negativo:
[
9-4=5
]
[
\boxed{-9+4=-5}
]
Regla rápida para sumar números con signo
| Situación | Qué hacemos |
| Dos positivos | Sumamos y queda positivo |
| Dos negativos | Sumamos y queda negativo |
| Uno positivo y otro negativo | Restamos y usamos el signo del mayor en valor absoluto |
Ejemplos:
[
7+5=12
]
[
-7-5=-12
]
[
-7+5=-2
]
[
7-5=2
]
Ley de los signos en la resta
La resta resulta mucho más sencilla si la convertimos primero en una suma.
La regla es:
[
\boxed{a-b=a+(-b)}
]
Es decir, restar un número equivale a sumar su opuesto.
Ejemplo: (7-3)
Transformamos:
[
7+(-3)
]
Resultado:
[
\boxed{4}
]
Ejemplo: (7-(-3))
Ahora tenemos:
[
7+3
]
Por tanto:
[
\boxed{10}
]
Este caso explica la conocida expresión:
menos menos se convierte en más.
Pero hay que utilizarla correctamente. No significa que cualquier operación que contenga dos números negativos termine siendo positiva.
Ejemplo con dos negativos
Tenemos:
[
-7-(-3)
]
Eliminamos la resta convirtiéndola en suma:
[
-7+3
]
Ahora restamos los valores absolutos:
[
7-3=4
]
Como el número de mayor valor absoluto es (-7):
[
\boxed{-4}
]
Por tanto:
[
-7-(-3)=-4
]
Aunque aparezcan dos signos negativos seguidos, el resultado final no tiene por qué ser positivo.
Cómo resolver signos delante de paréntesis
Los paréntesis son otra fuente habitual de errores.
Si aparece un signo positivo delante:
[
+(a-b)
]
podemos eliminar el paréntesis sin cambiar los signos:
[
a-b
]
Por ejemplo:
[
+(5-2)=5-2
]
Si aparece un signo negativo delante:
[
-(a-b)
]
cambian los signos de todos los términos:
[
-a+b
]
Ejemplo:
[
-(5-2)
]
Podemos calcular primero el paréntesis:
[
-(3)=-3
]
O cambiar los signos:
[
-5+2=-3
]
El resultado es el mismo.
Ejemplos con paréntesis
Consideremos:
[
-(x+4)
]
Al eliminar el paréntesis:
[
\boxed{-x-4}
]
Otro ejemplo:
[
-(x-6)
]
Cambiamos ambos signos:
[
\boxed{-x+6}
]
Y si tenemos:
[
-(-x+5)
]
obtenemos:
[
\boxed{x-5}
]
El signo negativo exterior equivale a multiplicar todo el paréntesis por (-1).
Ley de los signos con varios números multiplicándose
Si aparecen más de dos factores, podemos determinar el signo contando los números negativos.
Ejemplo:
[
(-2)(-3)(-4)
]
Hay tres factores negativos, un número impar.
El resultado será negativo:
[
2\cdot3\cdot4=24
]
Por tanto:
[
\boxed{-24}
]
Otro caso:
[
(-2)(-3)(-4)(-5)
]
Hay cuatro negativos, un número par.
El resultado será positivo:
[
2\cdot3\cdot4\cdot5=120
]
[
\boxed{120}
]
La regla general es:
- Cantidad par de signos negativos → positivo
- Cantidad impar de signos negativos → negativo
Ley de los signos en las potencias
Aquí hay que distinguir dos situaciones.
Número negativo entre paréntesis
Tenemos:
[
(-2)^2
]
Esto significa:
[
(-2)(-2)=4
]
Por tanto:
[
\boxed{(-2)^2=4}
]
Pero:
[
(-2)^3=(-2)(-2)(-2)
]
Resultado:
[
\boxed{-8}
]
La regla es:
exponente par → resultado positivo
exponente impar → resultado negativo
cuando la base negativa está correctamente incluida entre paréntesis.
No es lo mismo ((-2)^2) que (-2^2)
Esta diferencia es fundamental.
Tenemos:
[
(-2)^2=4
]
Pero:
[
-2^2
]
por la jerarquía de operaciones significa:
[
-(2^2)
]
Por tanto:
[
\boxed{-2^2=-4}
]
Los paréntesis cambian completamente la operación.
Compara:
[
\boxed{(-3)^2=9}
]
con:
[
\boxed{-3^2=-9}
]
Cómo funciona la ley de los signos con fracciones
No aparece ninguna regla nueva.
Por ejemplo:
[
\frac{-12}{-3}
]
Negativo entre negativo da positivo:
[
\boxed{4}
]
También:
[
\frac{12}{-3}=-4
]
Y:
[
\frac{-12}{3}=-4
]
El signo negativo de una fracción puede escribirse en tres posiciones equivalentes:
[
-\frac{2}{3}
]
[
\frac{-2}{3}
]
[
\frac{2}{-3}
]
Las tres expresiones representan el mismo número.
Operaciones combinadas con signos
Cuando aparecen diferentes operaciones, además de controlar los signos debemos respetar la jerarquía de operaciones:
- Paréntesis.
- Potencias y raíces.
- Multiplicaciones y divisiones.
- Sumas y restas.
Consideremos:
[
-3+(-2)(4)
]
Primero multiplicamos:
[
(-2)(4)=-8
]
Después:
[
-3+(-8)
]
Como tienen el mismo signo:
[
\boxed{-11}
]
Ejemplo con varias operaciones
Resolvamos:
[
5-(-3)(-2)
]
Primero la multiplicación:
[
(-3)(-2)=6
]
Después:
[
5-6
]
Resultado:
[
\boxed{-1}
]
Sería incorrecto comenzar sumando o restando antes de efectuar la multiplicación.
Ejercicios resueltos de la ley de los signos
Ejercicio 1
[
(-6)(+4)
]
Signos diferentes:
[
-]
Multiplicamos:
[
6\cdot4=24
]
Resultado:
[
\boxed{-24}
]
Ejercicio 2
[
(-45)\div(-9)
]
Signos iguales:
[
+
]
Dividimos:
[
45\div9=5
]
Resultado:
[
\boxed{5}
]
Ejercicio 3
[
-12+7
]
Signos diferentes.
Restamos:
[
12-7=5
]
El número de mayor valor absoluto es (-12).
Resultado:
[
\boxed{-5}
]
Ejercicio 4
[
-8+15
]
Restamos:
[
15-8=7
]
El número de mayor valor absoluto es positivo:
[
\boxed{7}
]
Ejercicio 5
[
-9-(-4)
]
Convertimos la resta:
[
-9+4
]
Restamos:
[
9-4=5
]
Conservamos el signo de (-9):
[
\boxed{-5}
]
Ejercicio 6
[
-5-(-12)
]
Transformamos:
[
-5+12
]
Restamos:
[
12-5=7
]
Resultado:
[
\boxed{7}
]
Ejercicio 7
[
(-3)^4
]
Tenemos cuatro factores negativos. Al ser una cantidad par:
[
\boxed{81}
]
Ejercicio 8
[
(-3)^3
]
Hay tres factores negativos:
[
\boxed{-27}
]
Ejercicio completo paso a paso
Resolvamos:
[
-4+3(-2)-(-5)
]
Primero hacemos la multiplicación:
[
3(-2)=-6
]
Sustituimos:
[
-4-6-(-5)
]
La última resta se transforma:
[
-4-6+5
]
Calculamos:
[
-10+5
]
Resultado:
[
\boxed{-5}
]
La ley de los signos no sustituye a la jerarquía de operaciones: las dos reglas deben aplicarse conjuntamente.
Otro ejercicio de operaciones combinadas
Tenemos:
[
(-2)^2-3(-4)+(-5)
]
Primero la potencia:
[
(-2)^2=4
]
Después la multiplicación:
[
3(-4)=-12
]
Sustituimos:
[
4-(-12)-5
]
Eliminamos el doble signo:
[
4+12-5
]
Calculamos:
[
16-5
]
Resultado:
[
\boxed{11}
]
Cómo memorizar la ley de los signos
Para multiplicar y dividir solo necesitas recordar:
[
\boxed{\text{Iguales}=+}
]
[
\boxed{\text{Diferentes}=-}
]
Es decir:
[
+\times+=+
]
[
-\times-=+
]
[
+\times-=-
]
[
-\times+=-
]
Para sumar, utiliza otra idea:
mismo signo → sumar y conservar
distinto signo → restar y conservar el signo del mayor en valor absoluto
Y para restar:
convierte la resta en suma del opuesto.
Estas tres reglas son suficientes para resolver prácticamente todos los ejercicios básicos.
La regla que evita confundir suma y multiplicación
Uno de los fallos más frecuentes consiste en aplicar la tabla de multiplicación a una suma.
Por ejemplo:
[
-8+3
]
No debemos pensar:
negativo y positivo → negativo.
Eso pertenece a multiplicaciones y divisiones.
En una suma de signos diferentes:
- Restamos (8-3=5).
- Conservamos el signo del número con mayor valor absoluto.
Resultado:
[
\boxed{-5}
]
En cambio:
[
(-8)(3)
]
sí utiliza la tabla de signos:
[
-\times+=-
]
Resultado:
[
\boxed{-24}
]
La diferencia entre ambas operaciones es esencial.
Chuleta rápida de la ley de los signos
| Operación | Regla |
| Multiplicación | Iguales (+), diferentes (−) |
| División | Iguales (+), diferentes (−) |
| Suma con signos iguales | Sumar y conservar el signo |
| Suma con signos diferentes | Restar y conservar el signo del mayor valor absoluto |
| Resta | Convertir en suma del opuesto |
| Potencia de base negativa y exponente par | Positiva |
| Potencia de base negativa y exponente impar | Negativa |
| Signo negativo delante de paréntesis | Cambiar todos los signos internos |
La ley de los signos resulta mucho más sencilla cuando se deja de intentar aplicar una única regla a todas las operaciones. Para multiplicar y dividir, basta con recordar que signos iguales dan positivo y diferentes, negativo; para sumar hay que comparar los valores, y para restar conviene transformar la operación en una suma. Una vez separadas estas tres situaciones, trabajar con números negativos deja de depender de la memoria y pasa a convertirse en un procedimiento que puede comprobarse paso a paso.
