Un factor en matemáticas es cada uno de los números, variables o expresiones que se multiplican para obtener un producto. En 4 × 6 = 24, por ejemplo, 4 y 6 son factores de la multiplicación y 24 es el producto. La palabra también se utiliza para indicar que un número divide exactamente a otro: 4 es factor de 24 porque 24 = 4 × 6.
Entender qué es un factor resulta fundamental para trabajar con divisores, números primos, máximo común divisor, fracciones, ecuaciones y factorización algebraica. El concepto es sencillo, pero cambia ligeramente según se utilice en aritmética o en álgebra.
Qué es un factor en matemáticas
En una multiplicación:
a × b = c
los números a y b son factores, mientras que c es el producto.
Por ejemplo:
7 × 5 = 35
Tenemos:
- 7: factor.
- 5: factor.
- 35: producto.
También podemos decir que 5 y 7 son factores de 35 porque ambos permiten expresar 35 como un producto de números enteros:
35 = 5 × 7
Este segundo uso es especialmente frecuente cuando se buscan los factores de un número.
Factor y producto: cuál es la diferencia
Los factores son las cantidades que se multiplican.
El producto es el resultado de esa multiplicación.
| Operación | Factores | Producto |
| 3 × 5 = 15 | 3 y 5 | 15 |
| 7 × 8 = 56 | 7 y 8 | 56 |
| 2 × 3 × 4 = 24 | 2, 3 y 4 | 24 |
| 5x | 5 y x | 5x |
| 3(x + 2) | 3 y (x + 2) | 3(x + 2) |
Una multiplicación puede contener dos, tres o muchos factores.
Por ejemplo:
2 × 3 × 5 × 7 = 210
Los cuatro números son factores del producto.
Qué significa que un número sea factor de otro
Decimos que un número entero a es factor de otro número n si existe otro entero b que cumple:
n = a × b
Por ejemplo, 3 es factor de 18 porque:
18 = 3 × 6
También podemos comprobarlo mediante una división:
18 ÷ 3 = 6
Como el resultado es entero y no aparece resto, 3 divide exactamente a 18.
Por tanto, 3 es factor de 18.
Cómo saber si un número es factor de otro
La forma más sencilla consiste en realizar una división.
Queremos saber si 4 es factor de 28:
28 ÷ 4 = 7
Como el resultado es un número entero:
4 sí es factor de 28
Ahora comprobamos si 5 es factor:
28 ÷ 5 = 5,6
La división no es exacta entre enteros.
Por tanto:
5 no es factor de 28
La regla práctica es:
Si n ÷ a produce un entero sin resto, a es factor de n.
Ejemplo: factores de 12
Podemos formar 12 mediante estas parejas de números positivos:
1 × 12 = 12
2 × 6 = 12
3 × 4 = 12
Por tanto, los factores positivos de 12 son:
1, 2, 3, 4, 6 y 12
Todos dividen exactamente a 12.
Por ejemplo:
12 ÷ 6 = 2
y:
12 ÷ 4 = 3
Ejemplo: factores de 20
Buscamos parejas cuyo producto sea 20:
1 × 20
2 × 10
4 × 5
Por tanto:
Factores de 20 = 1, 2, 4, 5, 10 y 20
No necesitamos probar indefinidamente todos los números porque los factores aparecen en parejas.
Qué son las parejas de factores
Una pareja de factores está formada por dos números cuyo producto es el número estudiado.
Para 36:
1 × 36
2 × 18
3 × 12
4 × 9
6 × 6
Las parejas positivas son:
(1, 36)
(2, 18)
(3, 12)
(4, 9)
(6, 6)
Por tanto, los factores positivos de 36 son:
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36
Factor y divisor: ¿son lo mismo?
Cuando trabajamos con números enteros, factor y divisor están estrechamente relacionados.
Si 4 es factor de 20:
20 = 4 × 5
entonces también podemos decir que 4 es divisor de 20:
20 ÷ 4 = 5
En este contexto, ambas expresiones suelen utilizarse prácticamente como equivalentes.
La diferencia está principalmente en el punto de vista:
- Factor: pensamos en una multiplicación.
- Divisor: pensamos en una división exacta.
Así:
6 es factor de 24
porque:
6 × 4 = 24
y también:
6 es divisor de 24
porque:
24 ÷ 6 = 4
Factor y múltiplo no son lo mismo
Esta distinción resulta esencial.
Si:
5 × 6 = 30
entonces:
- 5 es factor de 30.
- 6 es factor de 30.
- 30 es múltiplo de 5.
- 30 es múltiplo de 6.
Podemos expresarlo de esta manera:
factor → divide al número
múltiplo → se obtiene multiplicando el número
Por ejemplo:
Los primeros múltiplos positivos de 4 son:
4, 8, 12, 16, 20, 24…
En cambio, los factores positivos de 24 son:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24
Comparación entre factor, divisor y múltiplo
| Concepto | Qué significa | Ejemplo con 24 |
| Factor | Forma parte de una multiplicación que produce el número | 6 × 4 = 24 |
| Divisor | Divide exactamente al número | 24 ÷ 6 = 4 |
| Múltiplo | Se obtiene multiplicando otro número | 24 es múltiplo de 6 |
| Producto | Resultado de multiplicar factores | 24 |
Una misma relación puede analizarse desde varios puntos de vista.
Tipos de factores en matemáticas
El término factor aparece en distintos niveles de matemáticas.
Podemos encontrar:
- Factores numéricos.
- Factores primos.
- Factores comunes.
- Factores algebraicos.
- Factores de un polinomio.
Todos mantienen la misma idea fundamental: una cantidad que participa multiplicativamente en otra.
Factores numéricos
Son números que multiplicados producen otro número.
Por ejemplo:
8 × 7 = 56
8 y 7 son factores numéricos de 56.
Pero no son los únicos.
Los factores positivos de 56 son:
1, 2, 4, 7, 8, 14, 28 y 56
porque todos dividen exactamente a 56.
Factores primos
Un factor primo es un factor que además es un número primo.
Los números primos tienen exactamente dos divisores positivos:
1 y ellos mismos
Algunos ejemplos son:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17…
Para encontrar los factores primos de 12 podemos escribir:
12 = 2 × 2 × 3
Así, sus factores primos son:
2 y 3
El 2 aparece dos veces en su descomposición.
Qué es la factorización prima
La descomposición en factores primos consiste en expresar un número entero mayor que 1 como producto de números primos.
Por ejemplo:
60 = 2 × 2 × 3 × 5
Utilizando potencias:
60 = 2² × 3 × 5
Otro ejemplo:
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3
Por tanto:
72 = 2³ × 3²
Esta descomposición resulta muy útil para calcular:
- Máximo común divisor.
- Mínimo común múltiplo.
- Simplificación de fracciones.
- Número de divisores.
- Relaciones entre números.
Cómo descomponer un número en factores primos
Tomemos el número:
84
Empezamos dividiendo por el menor primo posible.
84 ÷ 2 = 42
Entonces:
84 = 2 × 42
Seguimos:
42 ÷ 2 = 21
Por tanto:
84 = 2 × 2 × 21
Ahora:
21 = 3 × 7
Resultado:
84 = 2² × 3 × 7
Todos los factores finales son números primos.
Por qué la factorización prima es especial
Cada número entero mayor que 1 puede escribirse como producto de números primos de una forma esencialmente única, salvo el orden de los factores.
Por ejemplo:
30 = 2 × 3 × 5
Podemos cambiar el orden:
30 = 5 × 2 × 3
pero seguimos utilizando exactamente los mismos factores primos.
Esta propiedad convierte a los números primos en una especie de piezas básicas de construcción de los enteros positivos.
Qué es un factor común
Un factor común es un factor compartido por dos o más números o expresiones.
Por ejemplo:
Factores de 12:
1, 2, 3, 4, 6, 12
Factores de 18:
1, 2, 3, 6, 9, 18
Los factores comunes son:
1, 2, 3 y 6
El mayor es:
6
Por eso:
MCD(12,18) = 6
Máximo común divisor y factores
El máximo común divisor (MCD) es el mayor factor positivo compartido por varios números.
Ejemplo:
Factores de 24:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Factores de 36:
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Factores comunes:
1, 2, 3, 4, 6, 12
El mayor es:
12
Por tanto:
MCD(24,36) = 12
Factores en álgebra
El concepto no se limita a los números.
En álgebra también pueden actuar como factores:
- Números.
- Variables.
- Monomios.
- Binomios.
- Polinomios completos.
Por ejemplo:
5x
es una multiplicación de:
5 × x
Por tanto:
5 y x son factores
En:
3xy
los factores pueden identificarse como:
3, x, y
Factores de una expresión algebraica
Consideremos:
4x(x + 3)
Los factores son:
4
x
(x + 3)
Todos aparecen multiplicándose.
En cambio, dentro de:
x + 3
x y 3 no son factores entre sí, porque están sumándose.
Son términos de una suma.
Esta diferencia entre factor y término es fundamental en álgebra.
Factor y término: cuál es la diferencia
Un factor forma parte de una multiplicación.
Un término es cada parte de una expresión separada por sumas o restas.
Por ejemplo:
5x + 10
tiene dos términos:
5x
y:
10
Dentro del primer término:
5 × x
5 y x son factores.
| Expresión | Términos | Factores destacados |
| 3x | 1 | 3 y x |
| 3x + 5 | 2 | 3 y x dentro de 3x |
| 2xy | 1 | 2, x, y |
| 4(x + 1) | 1 producto | 4 y (x + 1) |
| x² + 5x + 6 | 3 | Puede factorizarse |
Saber distinguir términos de factores resulta imprescindible para simplificar expresiones correctamente.
Qué significa factorizar
Factorizar consiste en transformar una suma, resta u otra expresión en un producto de factores.
Por ejemplo:
6x + 12
puede escribirse como:
6(x + 2)
porque aplicando la propiedad distributiva:
6(x + 2) = 6x + 12
Hemos convertido una suma en un producto.
Eso es una factorización.
Factor común en álgebra
Consideremos:
8x + 12
Los dos términos tienen un factor común:
4
Podemos escribir:
8x = 4 × 2x
y:
12 = 4 × 3
Por tanto:
8x + 12 = 4(2x + 3)
El 4 ha sido extraído como factor común.
Ejemplo con variables
Factoricemos:
6x² + 9x
Ambos términos contienen:
3x
Comprobamos:
6x² = 3x × 2x
9x = 3x × 3
Por tanto:
6x² + 9x = 3x(2x + 3)
Los factores de la expresión factorizada son:
3x
y:
(2x + 3)
Factores de un polinomio
Los polinomios también pueden descomponerse en factores.
Por ejemplo:
x² + 5x + 6
puede escribirse como:
(x + 2)(x + 3)
Podemos comprobarlo multiplicando:
(x + 2)(x + 3)
Aplicamos la distributiva:
x² + 3x + 2x + 6
Simplificamos:
x² + 5x + 6
Por tanto:
(x + 2) y (x + 3) son factores del polinomio.
Para qué sirve factorizar un polinomio
Factorizar puede facilitar enormemente la resolución de ecuaciones.
Por ejemplo:
x² + 5x + 6 = 0
Factorizamos:
(x + 2)(x + 3) = 0
Si un producto vale cero, alguno de sus factores debe valer cero:
x + 2 = 0
o:
x + 3 = 0
Por tanto:
x = -2
o:
x = -3
La factorización convierte una ecuación cuadrática en dos ecuaciones mucho más sencillas.
Propiedad del producto nulo
Una regla fundamental establece que si:
a × b = 0
entonces:
a = 0
o:
b = 0
Por ejemplo:
(x – 4)(x + 1) = 0
Entonces:
x – 4 = 0
o:
x + 1 = 0
Resultados:
x = 4
o:
x = -1
Esta propiedad explica por qué encontrar los factores de un polinomio resulta tan útil para resolver ecuaciones.
El teorema del factor
En polinomios existe una relación especialmente importante.
Si tenemos un polinomio:
P(x)
entonces:
(x – a)
es factor de P(x) si:
P(a) = 0
Por ejemplo:
P(x) = x² – 5x + 6
Queremos comprobar si:
(x – 2)
es factor.
Calculamos:
P(2) = 2² – 5·2 + 6
P(2) = 4 – 10 + 6
P(2) = 0
Por tanto:
(x – 2) es factor
De hecho:
x² – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)
Factores negativos
Cuando hablamos de factores enteros, también pueden considerarse los factores negativos.
Por ejemplo:
12 = 3 × 4
pero también:
12 = (-3) × (-4)
Por tanto, entre los factores enteros de 12 encontramos:
±1, ±2, ±3, ±4, ±6 y ±12
En muchos ejercicios escolares, cuando simplemente se pide “los factores de 12”, se sobreentiende que se quieren los factores positivos.
Conviene comprobar el contexto del ejercicio.
¿El 1 es un factor?
Sí.
1 es factor de cualquier número entero porque:
n = 1 × n
Por ejemplo:
23 = 1 × 23
Así, 1 es factor de 23.
También es factor de:
8, 100, 1.000
y de cualquier otro entero.
Sin embargo, 1 no es un número primo, porque un primo debe tener exactamente dos divisores positivos distintos: 1 y él mismo.
¿Un número es factor de sí mismo?
Sí.
Para cualquier número entero n:
n = n × 1
Por tanto, n es factor de sí mismo.
Ejemplo:
17 = 17 × 1
Así, los factores positivos de un número mayor que 1 siempre incluyen al menos:
1 y el propio número
Si solo tiene esos dos factores positivos, es primo.
Factores de los números primos
Un número primo posee exactamente dos factores positivos:
1 y él mismo
Por ejemplo:
Factores de 7:
1, 7
Factores de 11:
1, 11
Factores de 23:
1, 23
En cambio, 12 tiene más de dos factores:
1, 2, 3, 4, 6, 12
Por ello 12 es un número compuesto.
Números primos y compuestos
| Tipo | Número de factores positivos | Ejemplo |
| Primo | Exactamente 2 | 7: 1 y 7 |
| Compuesto | Más de 2 | 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12 |
| 1 | Solo 1 | 1 |
| 0 | Caso especial | Tiene infinitos divisores enteros no nulos |
El número 1 no es primo ni compuesto.
El cero requiere un tratamiento diferente.
¿El cero puede ser factor?
Esta cuestión depende del sentido en que utilicemos la palabra.
En una multiplicación:
0 × 5 = 0
el cero es claramente uno de los factores de esa multiplicación.
Pero no podemos utilizar 0 como divisor para comprobar si es factor de un número mediante:
n ÷ 0
porque la división entre cero no está definida.
Además, cero puede escribirse como:
0 = k × 0
para cualquier entero k.
Por eso el análisis de los divisores y factores de cero es especial y no se trata igual que el de los enteros positivos habituales.
Cómo encontrar todos los factores de un número
Tomemos:
48
Podemos buscar parejas:
1 × 48
2 × 24
3 × 16
4 × 12
6 × 8
Ya no necesitamos continuar porque las parejas empezarían a repetirse en orden inverso.
Por tanto:
Factores positivos de 48:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 y 48
Por qué basta buscar hasta la raíz cuadrada
Cuando buscamos factores por parejas, uno de los factores debe ser menor o igual que la raíz cuadrada del número.
Para 100:
√100 = 10
Si no hemos encontrado un nuevo factor menor o igual que 10, no aparecerá después una pareja completamente nueva.
Por ejemplo:
4 × 25
contiene un número inferior a 10.
5 × 20
también.
10 × 10
es el punto central.
Después aparecerían las mismas parejas invertidas.
Este método permite encontrar factores mucho más rápidamente.
Ejemplo paso a paso: factores de 72
Calculamos aproximadamente:
√72 ≈ 8,49
Por tanto, probamos enteros del 1 al 8.
72 ÷ 1 = 72
Pareja:
1 y 72
72 ÷ 2 = 36
Pareja:
2 y 36
72 ÷ 3 = 24
Pareja:
3 y 24
72 ÷ 4 = 18
Pareja:
4 y 18
72 no es divisible exactamente entre 5.
72 ÷ 6 = 12
Pareja:
6 y 12
72 no es divisible exactamente entre 7.
72 ÷ 8 = 9
Pareja:
8 y 9
Así:
Factores de 72 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 y 72
Cómo saber rápidamente si un número puede ser factor
Las reglas de divisibilidad ahorran muchas divisiones.
Factor 2
Un número es divisible entre 2 si termina en:
0, 2, 4, 6 u 8
Por ejemplo:
46
es divisible entre 2.
Factor 3
Se suman sus cifras.
Para:
123
tenemos:
1 + 2 + 3 = 6
Como 6 es divisible entre 3, 123 también lo es.
Factor 5
Debe terminar en:
0 o 5
Por ejemplo:
135
es divisible entre 5.
Factor 10
Debe terminar en:
0
Estas reglas facilitan la búsqueda de factores sin realizar cada división completa.
Ejercicio 1: identificar factores
¿Es 6 factor de 42?
Calculamos:
42 ÷ 6 = 7
La división es exacta.
Por tanto:
Sí, 6 es factor de 42.
También podemos comprobarlo mediante:
6 × 7 = 42
Ejercicio 2: comprobar un número que no es factor
¿Es 8 factor de 30?
Calculamos:
30 ÷ 8 = 3,75
No obtenemos un entero.
Por tanto:
8 no es factor de 30
No existe ningún entero n que cumpla:
8 × n = 30
Ejercicio 3: encontrar todos los factores
Encontrar los factores positivos de 18.
Buscamos parejas:
1 × 18
2 × 9
3 × 6
Por tanto:
1, 2, 3, 6, 9 y 18
Son todos los factores positivos de 18.
Ejercicio 4: factores primos
Descomponer 90 en factores primos.
Empezamos:
90 = 2 × 45
Después:
45 = 3 × 15
Y:
15 = 3 × 5
Por tanto:
90 = 2 × 3 × 3 × 5
Utilizando potencias:
90 = 2 × 3² × 5
Ejercicio 5: factor común
Factorizar:
12x + 18
El mayor factor común de 12 y 18 es:
6
Entonces:
12x = 6 × 2x
18 = 6 × 3
Sacamos 6:
12x + 18 = 6(2x + 3)
Ejercicio 6: factor común con variable
Factorizar:
15x² + 10x
El factor numérico común es:
5
Ambos términos también contienen x.
Por tanto, el factor común es:
5x
Obtenemos:
15x² + 10x = 5x(3x + 2)
Podemos comprobarlo distribuyendo:
5x × 3x = 15x²
5x × 2 = 10x
Ejercicio 7: factores de un polinomio
Factorizar:
x² + 7x + 12
Buscamos dos números cuyo producto sea:
12
y cuya suma sea:
7
Son:
3 y 4
Por tanto:
x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)
Los dos factores algebraicos son:
(x + 3)
y:
(x + 4)
Cómo comprobar una factorización
La forma más fiable consiste en volver a multiplicar los factores.
Supongamos:
x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)
Multiplicamos:
x · x = x²
x · 4 = 4x
3 · x = 3x
3 · 4 = 12
Sumamos:
x² + 4x + 3x + 12
x² + 7x + 12
La expresión original reaparece, por lo que la factorización es correcta.
Para qué sirven los factores
Los factores aparecen en muchísimos problemas matemáticos.
Permiten:
- Simplificar fracciones.
- Hallar divisores.
- Calcular el MCD.
- Calcular el mínimo común múltiplo.
- Descomponer números.
- Resolver ecuaciones.
- Simplificar expresiones algebraicas.
- Factorizar polinomios.
- Analizar números primos.
- Trabajar con proporcionalidad.
No es un concepto aislado. Es una herramienta que conecta la aritmética elemental con el álgebra.
Factores y simplificación de fracciones
Consideremos:
18/24
18 y 24 comparten el factor:
6
Podemos escribir:
18 = 6 × 3
24 = 6 × 4
Entonces:
18/24 = (6 × 3)/(6 × 4)
Cancelamos el factor común 6:
3/4
La simplificación funciona porque hemos identificado un factor común del numerador y el denominador.
No se pueden cancelar términos que están sumando
Este punto resulta especialmente importante en álgebra.
Consideremos:
(x + 2)/x
No podemos “cancelar las x” porque la x del numerador forma parte de una suma, no es un factor de todo el numerador.
En cambio:
(x · 2)/x
sí puede simplificarse, siempre que:
x ≠ 0
porque x es un factor completo:
2x/x = 2
La cancelación se realiza entre factores, no entre términos separados por suma o resta.
Ejemplo que muestra la diferencia
Tenemos:
(3x + 6)/3
En el numerador podemos factorizar:
3x + 6 = 3(x + 2)
Entonces:
3(x + 2)/3
Ahora sí aparece un factor 3 común.
Simplificamos:
x + 2
Primero fue necesario convertir la suma en un producto mediante factorización.
Coeficiente y factor
En una expresión como:
7x
el número 7 recibe el nombre de coeficiente de x.
Al mismo tiempo, 7 también es un factor porque:
7x = 7 × x
Por tanto, un número puede ser simultáneamente:
- Coeficiente.
- Factor.
Los términos describen aspectos diferentes de la misma expresión.
Factorización y propiedad distributiva
Existe una relación directa entre factorizar y la propiedad distributiva.
La distributiva dice:
a(b + c) = ab + ac
Factorizar consiste en utilizar esa propiedad al revés:
ab + ac = a(b + c)
Por ejemplo:
5x + 15
se convierte en:
5(x + 3)
El 5 es el factor común.
Comprender esta relación resulta mucho más útil que memorizar la factorización como un procedimiento independiente.
Tabla rápida para reconocer factores
| Situación | Factor o factores |
| 4 × 7 = 28 | 4 y 7 |
| 5x | 5 y x |
| 3xy | 3, x, y |
| 2(x + 4) | 2 y (x + 4) |
| 18 = 2 × 3 × 3 | 2, 3 y 3 |
| x² – 9 = (x – 3)(x + 3) | (x – 3) y (x + 3) |
| 12x + 8 = 4(3x + 2) | 4 y (3x + 2) |
La idea común en todos los casos es que los factores aparecen unidos mediante multiplicación.
Las claves para entender qué es un factor
Un factor en matemáticas puede reconocerse mediante una idea básica: forma parte de una multiplicación. Si 3 × 8 = 24, 3 y 8 son factores; si 24 ÷ 3 es una división exacta, 3 también es un factor o divisor de 24; y si una expresión como x² + 5x + 6 se convierte en (x + 2)(x + 3), cada paréntesis es un factor algebraico.
Esta misma idea permite pasar de buscar los factores de un número a descomponerlo en primos, simplificar fracciones o resolver ecuaciones. Comprender los factores no consiste únicamente en aprender una definición: significa reconocer cuándo una cantidad está multiplicando y utilizar esa estructura para hacer más sencilla una operación matemática.
