El mínimo común múltiplo, abreviado como mcm, es el menor número positivo que es múltiplo de dos o más números a la vez. Por ejemplo, el mcm de 4 y 6 es 12, porque 12 es el primer número positivo que aparece entre los múltiplos de ambos.
Puede calcularse de varias formas: escribiendo listas de múltiplos, mediante descomposición en factores primos, con divisiones sucesivas o utilizando el máximo común divisor. Para ejercicios pequeños, buscar múltiplos suele ser suficiente; con números mayores, la factorización resulta mucho más eficiente.
Qué es el mínimo común múltiplo
Los múltiplos de un número se obtienen multiplicándolo por los números naturales.
Por ejemplo, los primeros múltiplos positivos de 4 son:
4, 8, 12, 16, 20, 24, 28…
Los de 6:
6, 12, 18, 24, 30, 36…
Los primeros múltiplos comunes son:
12, 24, 36…
El menor de todos es:
12
Por tanto:
mcm(4, 6) = 12
La idea fundamental es:
El mcm es el menor múltiplo positivo que comparten todos los números estudiados.
Diferencia entre múltiplo común y mínimo común múltiplo
Dos números pueden tener infinitos múltiplos comunes.
Por ejemplo, 4 y 6 tienen como múltiplos comunes:
12, 24, 36, 48, 60…
Todos son válidos como múltiplos comunes.
Pero solo uno es el mínimo común múltiplo:
12
| Concepto | Ejemplo con 4 y 6 |
| Múltiplos de 4 | 4, 8, 12, 16, 20, 24… |
| Múltiplos de 6 | 6, 12, 18, 24, 30, 36… |
| Múltiplos comunes | 12, 24, 36… |
| Mínimo común múltiplo | 12 |
Cómo calcular el mcm mediante una lista de múltiplos
Este es el método más sencillo para empezar.
Queremos calcular:
mcm(3, 5)
Escribimos los múltiplos de 3:
3, 6, 9, 12, 15, 18…
Ahora los de 5:
5, 10, 15, 20, 25…
El primer número que aparece en ambas listas es:
15
Por tanto:
mcm(3, 5) = 15
Este sistema funciona muy bien cuando los números son pequeños.
Ejemplo: mcm de 4 y 10
Múltiplos de 4:
4, 8, 12, 16, 20, 24…
Múltiplos de 10:
10, 20, 30, 40…
El primer múltiplo compartido es:
20
Así:
mcm(4, 10) = 20
Cómo calcular el mcm con factores primos
La descomposición en factores primos es uno de los métodos más útiles y generales.
Queremos calcular:
mcm(12, 18)
Primero descomponemos 12:
12 = 2² × 3
Después 18:
18 = 2 × 3²
Ahora elegimos todos los factores primos que aparezcan, tomando cada uno con el mayor exponente presente.
Para el 2:
- en 12 aparece 2²;
- en 18 aparece 2¹.
Elegimos:
2²
Para el 3:
- en 12 aparece 3¹;
- en 18 aparece 3².
Elegimos:
3²
Por tanto:
mcm(12, 18) = 2² × 3²
Calculamos:
4 × 9 = 36
Resultado:
mcm(12, 18) = 36
La regla de los factores primos
Para calcular un mcm mediante factorización:
- Descompón cada número en factores primos.
- Reúne todos los números primos que aparezcan.
- De cada primo, escoge la potencia con mayor exponente.
- Multiplica esos factores.
Por ejemplo:
24 = 2³ × 3
30 = 2 × 3 × 5
Tomamos:
2³, 3 y 5
Entonces:
mcm(24, 30) = 2³ × 3 × 5
8 × 3 × 5 = 120
Por tanto:
mcm(24, 30) = 120
Ejemplo resuelto: mcm de 8 y 12
Descomponemos:
8 = 2³
12 = 2² × 3
Tomamos cada primo con su exponente mayor:
2³ × 3
Calculamos:
8 × 3 = 24
Resultado:
mcm(8, 12) = 24
Podemos comprobarlo:
24 ÷ 8 = 3
24 ÷ 12 = 2
Los dos cocientes son enteros.
Cómo calcular el mcm de tres números
El procedimiento no cambia.
Calculemos:
mcm(6, 8, 15)
Descomponemos:
6 = 2 × 3
8 = 2³
15 = 3 × 5
Seleccionamos:
- mayor potencia de 2: 2³;
- mayor potencia de 3: 3;
- mayor potencia de 5: 5.
Multiplicamos:
2³ × 3 × 5
8 × 3 × 5 = 120
Por tanto:
mcm(6, 8, 15) = 120
Método de divisiones sucesivas
También puede calcularse colocando los números juntos y dividiéndolos sucesivamente entre números primos.
Queremos obtener:
mcm(12, 18)
Podemos organizar el proceso así:
| Números | Divisor primo |
| 12, 18 | 2 |
| 6, 9 | 2 |
| 3, 9 | 3 |
| 1, 3 | 3 |
| 1, 1 | — |
Multiplicamos los divisores utilizados:
2 × 2 × 3 × 3 = 36
Por tanto:
mcm(12, 18) = 36
Cuando un número no es divisible entre el primo utilizado, simplemente se mantiene igual en esa fila.
Mcm de dos números cuando uno es múltiplo del otro
Hay un caso especialmente rápido.
Consideremos:
mcm(5, 20)
Como 20 ya es múltiplo de 5:
20 ÷ 5 = 4
entonces:
mcm(5, 20) = 20
Lo mismo ocurre con:
mcm(8, 24) = 24
porque:
24 = 8 × 3
La regla es:
Si uno de los números es múltiplo del otro, el mcm es el número mayor.
Mcm de números primos entre sí
Dos números son coprimos o primos entre sí cuando su máximo común divisor es 1.
Por ejemplo:
8 y 15
No tienen ningún factor primo común.
Tenemos:
8 = 2³
15 = 3 × 5
Por tanto, su mcm es simplemente el producto:
8 × 15 = 120
Así:
mcm(8, 15) = 120
Cuando dos números son coprimos:
mcm(a, b) = a × b
El mcm y el máximo común divisor están relacionados
Para dos números positivos se cumple:
mcm(a, b) × mcd(a, b) = a × b
Por tanto:
mcm(a, b) = (a × b) ÷ mcd(a, b)
Por ejemplo, calculemos el mcm de 12 y 18.
Sabemos que:
mcd(12, 18) = 6
Entonces:
mcm(12, 18) = (12 × 18) ÷ 6
216 ÷ 6 = 36
Resultado:
mcm(12, 18) = 36
Este método resulta especialmente útil cuando ya conocemos el máximo común divisor.
Diferencia entre mcm y mcd
Son conceptos relacionados, pero buscan cosas distintas.
| Concepto | Qué busca |
| mcm | El menor múltiplo positivo común |
| mcd | El mayor divisor común |
| Se utiliza para | Coincidencias, denominadores, ciclos |
| Se utiliza también para | — |
| Ejemplo con 12 y 18 | mcm = 36 |
| Ejemplo con 12 y 18 | mcd = 6 |
Con 12 y 18:
Divisores comunes:
1, 2, 3, 6
El mayor es:
6
Por eso:
mcd(12, 18) = 6
Mientras que el primer múltiplo positivo común es:
36
Así:
mcm(12, 18) = 36
Para qué sirve el mínimo común múltiplo
El mcm aparece en problemas donde necesitamos saber cuándo coinciden varios ciclos o cantidades.
También es fundamental para operar con fracciones de distinto denominador.
Sumar fracciones
Supongamos:
1/4 + 1/6
Necesitamos un denominador común.
Calculamos:
mcm(4, 6) = 12
Transformamos:
1/4 = 3/12
1/6 = 2/12
Sumamos:
3/12 + 2/12 = 5/12
Aquí el mcm permite encontrar el menor denominador común posible.
Ejemplo de ciclos que coinciden
Un autobús pasa cada 6 minutos y otro cada 8 minutos.
Acaban de pasar juntos.
Para saber cuándo volverán a coincidir calculamos:
mcm(6, 8)
Descomponemos:
6 = 2 × 3
8 = 2³
Tomamos:
2³ × 3 = 24
Volverán a coincidir dentro de:
24 minutos
Otro problema resuelto con mcm
Una luz se enciende cada 10 segundos y otra cada 15 segundos.
Queremos saber cuándo volverán a encenderse simultáneamente.
Descomponemos:
10 = 2 × 5
15 = 3 × 5
Tomamos todos los factores con su mayor exponente:
2 × 3 × 5 = 30
Por tanto:
mcm(10, 15) = 30
Las dos luces volverán a coincidir cada 30 segundos.
Ejercicio resuelto 1: mcm de 6 y 9
Descomponemos:
6 = 2 × 3
9 = 3²
Tomamos:
2 × 3²
Calculamos:
2 × 9 = 18
Resultado:
mcm(6, 9) = 18
Ejercicio resuelto 2: mcm de 15 y 25
Descomponemos:
15 = 3 × 5
25 = 5²
Seleccionamos:
3 × 5²
Calculamos:
3 × 25 = 75
Así:
mcm(15, 25) = 75
Ejercicio resuelto 3: mcm de 16 y 24
Descomponemos:
16 = 2⁴
24 = 2³ × 3
Tomamos:
2⁴ × 3
Calculamos:
16 × 3 = 48
Por tanto:
mcm(16, 24) = 48
Ejercicio resuelto 4: mcm de 12, 20 y 30
Descomponemos:
12 = 2² × 3
20 = 2² × 5
30 = 2 × 3 × 5
Escogemos:
2² × 3 × 5
Calculamos:
4 × 3 × 5 = 60
Resultado:
mcm(12, 20, 30) = 60
Ejercicio resuelto 5: mcm de 9, 12 y 15
Descomponemos:
9 = 3²
12 = 2² × 3
15 = 3 × 5
Seleccionamos:
2² × 3² × 5
Calculamos:
4 × 9 × 5 = 180
Por tanto:
mcm(9, 12, 15) = 180
Cómo comprobar que el resultado es correcto
El resultado debe cumplir dos condiciones.
Primera:
Tiene que ser divisible exactamente entre todos los números originales.
Por ejemplo, si afirmamos:
mcm(8, 12) = 24
comprobamos:
24 ÷ 8 = 3
24 ÷ 12 = 2
Segunda:
No puede existir un múltiplo común positivo menor.
Los múltiplos de 8 son:
8, 16, 24…
Los de 12:
12, 24…
El primero que comparten es 24.
Qué factores se eligen al calcular el mcm
Esta es una de las reglas que más confusión provoca.
Para el mcm se toman:
todos los factores primos, comunes y no comunes, con el mayor exponente.
Ejemplo:
18 = 2 × 3²
24 = 2³ × 3
Tomamos:
2³ × 3²
No tomamos únicamente los factores comunes.
Calculamos:
8 × 9 = 72
Así:
mcm(18, 24) = 72
Mcm y mcd: cómo no confundir las reglas
Una forma sencilla de recordarlo:
Para calcular el mcm
Todos los factores con el mayor exponente.
Para calcular el mcd
Solo los factores comunes con el menor exponente.
Por ejemplo:
12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
Para el mcm:
2² × 3² = 36
Para el mcd:
2 × 3 = 6
Por tanto:
mcm(12, 18) = 36
mcd(12, 18) = 6
Qué método conviene utilizar
| Situación | Método recomendable |
| Números pequeños | Lista de múltiplos |
| Números medianos o grandes | Factores primos |
| Tres o más números | Factores primos o divisiones sucesivas |
| Ya conocemos el mcd | Fórmula mcm × mcd |
| Un número divide exactamente al otro | Elegir directamente el mayor |
No existe un único método obligatorio. Todos deben conducir al mismo resultado.
El mínimo común múltiplo se entiende mejor cuando se piensa en una coincidencia: buscamos el primer número positivo al que pueden llegar simultáneamente todos los números de partida. Con valores pequeños podemos verlo escribiendo sus múltiplos; con números mayores, la descomposición en factores primos permite obtenerlo rápidamente tomando todos los factores necesarios con su mayor exponente. Dominar esa idea convierte ejercicios de fracciones, ciclos y divisibilidad en procedimientos mucho más sencillos.
