La jerarquía de operaciones establece el orden que debe seguirse al resolver una expresión matemática con sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias o paréntesis. Aplicarla correctamente es imprescindible porque una misma operación puede producir resultados completamente distintos si se calcula en un orden equivocado.
La regla esencial es sencilla: primero se resuelven los signos de agrupación, después potencias y raíces, a continuación multiplicaciones y divisiones, y finalmente sumas y restas. Cuando dos operaciones tienen la misma prioridad, se realizan de izquierda a derecha.
Qué es la jerarquía de operaciones
La jerarquía de operaciones es una convención matemática que determina qué cálculo debe realizarse primero cuando aparecen varias operaciones en una misma expresión.
Por ejemplo:
4 + 3 × 2
Si calculásemos de izquierda a derecha sin respetar ninguna prioridad:
4 + 3 = 7
7 × 2 = 14
Pero ese resultado es incorrecto.
La multiplicación tiene prioridad sobre la suma:
4 + 3 × 2
4 + 6
= 10
Por tanto, el resultado correcto es 10.
Cuál es el orden de las operaciones
El orden general puede organizarse en cuatro niveles:
| Prioridad | Operaciones | Ejemplo |
| 1 | Paréntesis, corchetes y llaves | (6 + 2) |
| 2 | Potencias y raíces | 3², √16 |
| 3 | Multiplicaciones y divisiones | 4 × 5, 20 ÷ 4 |
| 4 | Sumas y restas | 8 + 3, 10 – 7 |
Una forma útil de recordarlo es:
Agrupación → potencias y raíces → multiplicación y división → suma y resta
Hay un detalle decisivo: multiplicar no tiene prioridad sobre dividir, y sumar tampoco tiene prioridad sobre restar.
Dentro de cada pareja se calcula de izquierda a derecha.
Multiplicación y división tienen la misma prioridad
Consideremos:
24 ÷ 6 × 2
No debemos multiplicar 6 × 2 primero.
División y multiplicación tienen exactamente el mismo nivel de prioridad, por lo que avanzamos de izquierda a derecha:
24 ÷ 6 = 4
Después:
4 × 2 = 8
Resultado:
8
Resolver:
24 ÷ (6 × 2)
sería una expresión diferente, cuyo resultado sería 2.
Suma y resta también tienen la misma prioridad
Veamos:
15 – 6 + 2
Se calcula de izquierda a derecha:
15 – 6 = 9
Después:
9 + 2 = 11
Resultado:
11
No debemos realizar automáticamente la suma 6 + 2 porque la expresión no contiene ningún paréntesis que obligue a agrupar esos números.
Para qué sirven los paréntesis
Los paréntesis permiten modificar el orden habitual de las operaciones.
Comparemos:
4 + 3 × 2 = 10
con:
(4 + 3) × 2
Ahora debemos resolver primero el paréntesis:
7 × 2
= 14
Los mismos números y operaciones producen resultados diferentes porque el paréntesis cambia la estructura del cálculo.
Cómo resolver operaciones con varios paréntesis
Cuando existen signos de agrupación dentro de otros, se empieza por los más interiores.
Ejemplo:
5 × [8 – (3 + 1)]
Primero:
3 + 1 = 4
Queda:
5 × [8 – 4]
Después:
8 – 4 = 4
Finalmente:
5 × 4 = 20
Resultado:
20
Los corchetes y las llaves cumplen una función de agrupación semejante a la de los paréntesis.
Potencias dentro de la jerarquía
Las potencias se calculan después de resolver los signos de agrupación y antes de multiplicaciones, divisiones, sumas y restas.
Ejemplo:
2 + 3² × 4
Primero calculamos la potencia:
3² = 9
Obtenemos:
2 + 9 × 4
Después la multiplicación:
2 + 36
Finalmente:
38
Raíces y jerarquía de operaciones
Las raíces se tratan normalmente en el mismo nivel que las potencias.
Ejemplo:
5 + √16 × 2
Primero:
√16 = 4
Después:
4 × 2 = 8
Finalmente:
5 + 8 = 13
Resultado:
13
Ejercicio 1: suma y multiplicación
Resolver:
7 + 4 × 3
Primero hacemos la multiplicación:
4 × 3 = 12
Queda:
7 + 12
Resultado:
19
Ejercicio 2: resta y división
Resolver:
20 – 12 ÷ 3
Primero la división:
12 ÷ 3 = 4
Después:
20 – 4
Resultado:
16
Ejercicio 3: multiplicación antes de la suma
Resolver:
6 × 5 + 4
Primero:
6 × 5 = 30
Después:
30 + 4
Resultado:
34
Ejercicio 4: división y multiplicación
Resolver:
36 ÷ 6 × 3
Ambas tienen la misma prioridad.
Calculamos de izquierda a derecha:
36 ÷ 6 = 6
Después:
6 × 3 = 18
Resultado:
18
Ejercicio 5: suma y resta
Resolver:
18 – 7 + 4
Avanzamos de izquierda a derecha:
18 – 7 = 11
Después:
11 + 4 = 15
Resultado:
15
Ejercicio 6: paréntesis
Resolver:
3 × (8 – 5) + 2
Primero:
8 – 5 = 3
La expresión queda:
3 × 3 + 2
Multiplicamos:
9 + 2
Resultado:
11
Ejercicio 7: potencia y multiplicación
Resolver:
5 + 2³ × 3
Primero la potencia:
2³ = 8
Queda:
5 + 8 × 3
Multiplicamos:
5 + 24
Resultado:
29
Ejercicio 8: paréntesis y potencia
Resolver:
(4 + 2)² ÷ 3
Primero:
4 + 2 = 6
Después:
6² = 36
Finalmente:
36 ÷ 3 = 12
Resultado:
12
Ejercicio 9: operaciones combinadas
Resolver:
18 ÷ 3 + 2 × 5
Primero resolvemos división y multiplicación:
18 ÷ 3 = 6
2 × 5 = 10
Queda:
6 + 10
Resultado:
16
Ejercicio 10: varias operaciones
Resolver:
30 – 4 × 5 + 12 ÷ 3
Primero multiplicación y división:
4 × 5 = 20
12 ÷ 3 = 4
Queda:
30 – 20 + 4
Ahora de izquierda a derecha:
30 – 20 = 10
10 + 4 = 14
Resultado:
14
Ejercicio 11: paréntesis anidados
Resolver:
2 × [10 – (3 + 2)]
Empezamos por el paréntesis interior:
3 + 2 = 5
Queda:
2 × [10 – 5]
Después:
10 – 5 = 5
Finalmente:
2 × 5 = 10
Resultado:
10
Ejercicio 12: potencia dentro de un paréntesis
Resolver:
3 × (2² + 4)
Primero debemos resolver el contenido del paréntesis respetando su propia jerarquía.
Dentro aparece:
2² + 4
Primero:
2² = 4
Después:
4 + 4 = 8
Ahora:
3 × 8 = 24
Resultado:
24
Ejercicio 13: varias potencias
Resolver:
2³ + 3² × 2
Primero las potencias:
2³ = 8
3² = 9
Queda:
8 + 9 × 2
Después:
9 × 2 = 18
Finalmente:
8 + 18 = 26
Resultado:
26
Ejercicio 14: raíz, potencia y suma
Resolver:
√25 + 2³ × 2
Primero:
√25 = 5
y:
2³ = 8
Queda:
5 + 8 × 2
Multiplicamos:
5 + 16
Resultado:
21
Ejercicio 15: combinación completa
Resolver:
3 + 2 × (5² – 21)
Primero trabajamos dentro del paréntesis.
Calculamos la potencia:
5² = 25
Después:
25 – 21 = 4
Queda:
3 + 2 × 4
Multiplicamos:
3 + 8
Resultado:
11
Ejercicios con fracciones
Las fracciones introducen un detalle adicional: la barra de fracción funciona como un signo de agrupación.
Por ejemplo:
(8 + 4) / (5 – 2)
Primero debemos calcular por separado numerador y denominador.
Numerador:
8 + 4 = 12
Denominador:
5 – 2 = 3
Después:
12 / 3 = 4
Resultado:
4
Ejercicio 16: fracción con multiplicación
Resolver:
(6 + 2 × 3) / 4
Primero calculamos el numerador respetando la jerarquía.
Multiplicación:
2 × 3 = 6
Entonces:
6 + 6 = 12
La fracción queda:
12 / 4
Resultado:
3
Ejercicio 17: operaciones en numerador y denominador
Resolver:
(3² + 7) / (10 – 6)
Numerador:
3² = 9
9 + 7 = 16
Denominador:
10 – 6 = 4
Entonces:
16 / 4 = 4
Resultado:
4
Ejercicio 18: paréntesis, división y potencia
Resolver:
(18 ÷ 3)² – 10
Primero el paréntesis:
18 ÷ 3 = 6
Después la potencia:
6² = 36
Finalmente:
36 – 10 = 26
Resultado:
26
Ejercicio 19: nivel intermedio
Resolver:
40 ÷ [2 × (3 + 2)] + 4
Primero:
3 + 2 = 5
Queda:
40 ÷ [2 × 5] + 4
Ahora:
2 × 5 = 10
Después:
40 ÷ 10 + 4
4 + 4
Resultado:
8
Ejercicio 20: nivel avanzado
Resolver:
2³ + 4 × [9 – (6 ÷ 2)]²
Empezamos por el paréntesis interior:
6 ÷ 2 = 3
Queda:
2³ + 4 × (9 – 3)²
Resolvemos:
9 – 3 = 6
Ahora las potencias:
2³ = 8
6² = 36
La expresión queda:
8 + 4 × 36
Multiplicamos:
8 + 144
Resultado:
152
Ejercicio 21: varias agrupaciones
Resolver:
{20 – [3 × (4 + 2)]} ÷ 2
Primero:
4 + 2 = 6
Después:
3 × 6 = 18
Queda:
(20 – 18) ÷ 2
Calculamos:
2 ÷ 2
Resultado:
1
Ejercicio 22: potencia, raíz y división
Resolver:
4² ÷ √16 + 3
Primero:
4² = 16
√16 = 4
Queda:
16 ÷ 4 + 3
Después:
16 ÷ 4 = 4
Finalmente:
4 + 3 = 7
Resultado:
7
Ejercicio 23: expresión completa
Resolver:
50 – 2 × (3² + 4) + 12 ÷ 3
Primero el paréntesis.
Dentro:
3² = 9
9 + 4 = 13
La expresión queda:
50 – 2 × 13 + 12 ÷ 3
Multiplicación y división:
2 × 13 = 26
12 ÷ 3 = 4
Ahora:
50 – 26 + 4
De izquierda a derecha:
24 + 4
Resultado:
28
Ejercicio 24: dos niveles de agrupación
Resolver:
5 + [18 ÷ (2 + 1)] × 2
Primero:
2 + 1 = 3
Queda:
5 + 18 ÷ 3 × 2
División y multiplicación tienen la misma prioridad, así que avanzamos de izquierda a derecha:
18 ÷ 3 = 6
6 × 2 = 12
Finalmente:
5 + 12 = 17
Resultado:
17
Ejercicio 25: operación combinada avanzada
Resolver:
3² + 2 × [16 ÷ (5 – 1) + 3]
Primero:
5 – 1 = 4
Queda:
3² + 2 × [16 ÷ 4 + 3]
Dentro del corchete:
16 ÷ 4 = 4
Después:
4 + 3 = 7
La expresión se convierte en:
3² + 2 × 7
Potencia:
3² = 9
Multiplicación:
2 × 7 = 14
Finalmente:
9 + 14 = 23
Resultado:
23
El signo negativo delante de una potencia
Existe una diferencia importante entre:
-3²
y:
(-3)²
En la primera expresión, la potencia afecta al 3:
-3² = -(3²)
= -9
En la segunda, el paréntesis indica que la base es -3:
(-3)² = (-3) × (-3)
= 9
Por tanto:
-3² ≠ (-3)²
Esta distinción aparece con frecuencia en ejercicios de jerarquía.
Ejercicio 26: potencia con número negativo
Resolver:
10 – 2² × 3
Primero:
2² = 4
Después:
4 × 3 = 12
Finalmente:
10 – 12 = -2
Resultado:
-2
Ejercicio 27: base negativa
Resolver:
5 + (-2)³ × 2
Primero:
(-2)³ = -8
Después:
-8 × 2 = -16
Finalmente:
5 + (-16)
Resultado:
-11
Por qué no siempre se calcula de izquierda a derecha
Una expresión como:
2 + 5 × 4
no se resuelve empezando necesariamente por la operación que aparece más a la izquierda.
La jerarquía obliga a calcular primero:
5 × 4 = 20
y después:
2 + 20 = 22
El criterio de izquierda a derecha solo se aplica cuando las operaciones tienen la misma prioridad.
Por ejemplo:
20 ÷ 5 × 2
sí se resuelve de izquierda a derecha porque división y multiplicación pertenecen al mismo nivel.
Qué ocurre con una división escrita mediante una barra
La escritura de las fracciones puede cambiar completamente la interpretación.
Consideremos:
6 + 4 / 2
La división tiene prioridad:
4 / 2 = 2
por lo que:
6 + 2 = 8
Pero si escribimos:
(6 + 4) / 2
la barra de fracción agrupa todo el numerador:
10 / 2 = 5
Una expresión matemática debe leerse atendiendo tanto a los símbolos como a su estructura gráfica.
Cómo resolver correctamente cualquier ejercicio
Un procedimiento fiable consiste en seguir siempre la misma secuencia:
- Localiza los signos de agrupación y empieza por los más interiores.
- Dentro de cada agrupación, calcula potencias y raíces.
- Resuelve multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.
- Termina con sumas y restas de izquierda a derecha.
- Repite el procedimiento hasta que quede un único número.
No es necesario intentar resolver toda la expresión mentalmente. Es más seguro escribir un paso por línea y reducirla poco a poco.
Ejemplo siguiendo todo el procedimiento
Resolver:
8 + 3 × [10 – 2 × (4 – 1)]
Primero el paréntesis interior:
4 – 1 = 3
Queda:
8 + 3 × [10 – 2 × 3]
Dentro del corchete, la multiplicación tiene prioridad:
2 × 3 = 6
Entonces:
8 + 3 × [10 – 6]
Resolvemos el corchete:
10 – 6 = 4
Queda:
8 + 3 × 4
Multiplicamos:
8 + 12
Resultado:
20
Tabla rápida para saber qué calcular primero
| Si aparecen… | Calcula primero… |
| 7 + 3 × 4 | 3 × 4 |
| (7 + 3) × 4 | 7 + 3 |
| 5 + 2³ | 2³ |
| 24 ÷ 6 × 2 | 24 ÷ 6 |
| 15 – 8 + 3 | 15 – 8 |
| √16 + 3 × 2 | √16 |
| (2 + 3)² | 2 + 3 |
| (-4)² | La base completa es -4 |
Esta tabla recoge las situaciones que más dudas generan al empezar a trabajar con operaciones combinadas.
Ejercicios para practicar sin mirar la solución
Intenta resolver estas operaciones antes de comprobar los resultados:
- 6 + 3 × 4
- 20 ÷ 5 + 7
- 2 × (8 – 3)
- 3² + 5 × 2
- 18 ÷ 3 × 2
- 4 + 2 × (6 – 1)
- (5 + 3)² ÷ 8
- 30 – 2 × 4²
- √36 + 12 ÷ 3
- 2 × [9 – (5 – 2)]
Soluciones
1. 18
Porque:
6 + 12 = 18
2. 11
Porque:
4 + 7 = 11
3. 10
Porque:
2 × 5 = 10
4. 19
Porque:
9 + 10 = 19
5. 12
Porque:
18 ÷ 3 = 6
y:
6 × 2 = 12
6. 14
Porque:
4 + 2 × 5 = 4 + 10 = 14
7. 8
Porque:
(5 + 3)² ÷ 8 = 64 ÷ 8 = 8
8. -2
Porque:
30 – 2 × 16 = 30 – 32 = -2
9. 10
Porque:
6 + 4 = 10
10. 12
Porque:
5 – 2 = 3
9 – 3 = 6
2 × 6 = 12
Ejercicios de nivel avanzado para practicar
Para aumentar la dificultad:
- 4 + 3 × [8 – (2 + 1)]
- 2³ × (7 – 4) + 5
- 40 ÷ [2 × (3 + 2)]
- 5² – 3 × (8 – 4)
- (18 ÷ 3)² – 4 × 5
- √64 + 3² × 2
- 50 – [4 × (3² – 5)]
- 2 × {15 – [3 × (4 – 2)]}
Sus resultados son:
| Ejercicio | Resultado |
| 1 | 19 |
| 2 | 29 |
| 3 | 4 |
| 4 | 13 |
| 5 | 16 |
| 6 | 26 |
| 7 | 34 |
| 8 | 18 |
Cómo comprobar una operación sin repetir el mismo fallo
Cuando el resultado parece dudoso, conviene volver a la expresión original y marcar por niveles las operaciones.
En:
5 + 2 × (7 – 3)²
podemos identificar:
Nivel 1: (7 – 3)
Nivel 2: elevar al cuadrado.
Nivel 3: multiplicar por 2.
Nivel 4: sumar 5.
Entonces:
7 – 3 = 4
4² = 16
2 × 16 = 32
5 + 32 = 37
Resultado:
37
Separar visualmente las etapas reduce mucho las posibilidades de equivocarse.
La jerarquía en calculadoras y hojas de cálculo
Las calculadoras científicas y los programas matemáticos aplican reglas de prioridad similares, siempre que la expresión se introduzca correctamente.
Por ejemplo:
2 + 3 × 4
debe producir:
14
Pero introducir paréntesis:
(2 + 3) × 4
produce:
20
Esto demuestra que conocer la jerarquía sigue siendo necesario incluso cuando el cálculo lo realiza una máquina: si la expresión se escribe mal, el dispositivo calculará correctamente una operación distinta de la que pretendíamos resolver.
Regla final para recordar la jerarquía
La secuencia fundamental es:
1. Paréntesis y otros signos de agrupación
2. Potencias y raíces
3. Multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha
4. Sumas y restas, de izquierda a derecha
La jerarquía de operaciones deja de resultar complicada cuando se entiende como una secuencia y no como una colección de trucos. El objetivo no es calcular más rápido, sino saber qué operación corresponde realizar en cada momento. Si se respeta la prioridad, se conserva la estructura original de la expresión y cualquier ejercicio, desde una suma con una multiplicación hasta una combinación de fracciones, potencias y paréntesis anidados, puede resolverse paso a paso con el mismo método.
