Las leyes de los radicales permiten multiplicar, dividir, simplificar y transformar raíces sin tener que calcular primero su valor decimal. Entenderlas resulta mucho más útil que memorizarlas: todas parten de la relación entre raíces y potencias, y unas pocas reglas permiten resolver desde operaciones sencillas hasta expresiones algebraicas bastante más complejas.
Una raíz cuadrada, cúbica o de índice superior puede manipularse siempre que respetemos sus condiciones matemáticas. El índice, el radicando y los exponentes determinan qué propiedad podemos aplicar y cuál no.
Qué es un radical y cuáles son sus partes
Una expresión radical tiene esta forma:
ⁿ√a
En ella aparecen dos elementos fundamentales:
- n es el índice de la raíz.
- a es el radicando.
Si no aparece escrito ningún índice, se entiende que se trata de una raíz cuadrada, es decir, que n = 2.
Por ejemplo:
√25 = 5
porque:
5² = 25
Mientras que:
³√8 = 2
porque:
2³ = 8
El radical también puede llevar un coeficiente delante:
3√5
En este caso, el 3 multiplica al valor de √5.
La relación entre radicales y potencias
La propiedad que permite entender prácticamente todas las demás es que una raíz puede escribirse como una potencia de exponente fraccionario:
ⁿ√a = a^(1/n)
Y, de forma más general:
ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n)
Por ejemplo:
³√(x²) = x^(2/3)
Esta equivalencia permite aplicar a los radicales muchas de las propiedades que ya conocemos de las potencias.
Por ejemplo:
√a · √b
puede escribirse como:
a^(1/2) · b^(1/2)
y, por las propiedades de las potencias:
(ab)^(1/2) = √(ab)
De ahí procede la propiedad del producto de radicales.
Las leyes de los radicales de un vistazo
Estas son las principales propiedades que conviene conocer:
| Propiedad | Fórmula básica | Ejemplo |
| Producto | ⁿ√a · ⁿ√b = ⁿ√(ab) | √2 · √8 = √16 = 4 |
| Cociente | ⁿ√a / ⁿ√b = ⁿ√(a/b) | √18 / √2 = √9 = 3 |
| Potencia | (ⁿ√a)ᵐ = ⁿ√(aᵐ) | (√3)² = 3 |
| Raíz de una raíz | ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐⁿ√a | √(³√64) = ⁶√64 = 2 |
| Exponente fraccionario | ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n) | ³√(8²) = 8^(2/3) = 4 |
| Extracción de factores | ⁿ√(aⁿb) = a·ⁿ√b* | √(9·2) = 3√2 |
| Introducción de factores | a·ⁿ√b = ⁿ√(aⁿb)* | 3√2 = √18 |
| Radicales equivalentes | ⁿ√(aᵐ) = ᵏⁿ√(aᵏᵐ) | √2 = ⁴√4 |
*Cuando se trabaja con raíces de índice par y variables que pueden ser negativas hay que considerar el valor absoluto, algo que veremos más adelante.
Primera ley: producto de radicales con el mismo índice
Cuando dos radicales tienen el mismo índice, pueden multiplicarse introduciendo los radicandos dentro de una sola raíz:
ⁿ√a · ⁿ√b = ⁿ√(a · b)
Por ejemplo:
√2 · √8 = √16 = 4
Otro caso:
³√4 · ³√16 = ³√64 = 4
La propiedad funciona porque los dos radicales tienen el mismo índice.
Ejemplo con variables
Tenemos:
√(3x) · √(12x)
Multiplicamos los radicandos:
√(36x²)
Si consideramos x ≥ 0:
√(36x²) = 6x
Por tanto:
√(3x) · √(12x) = 6x
Qué ocurre si los radicales tienen índices diferentes
No podemos aplicar directamente la propiedad anterior a:
√2 · ³√5
porque uno tiene índice 2 y el otro índice 3.
Una posibilidad consiste en transformarlos en radicales con un índice común.
El mínimo común múltiplo de 2 y 3 es 6.
Entonces:
√2 = ⁶√(2³) = ⁶√8
y:
³√5 = ⁶√(5²) = ⁶√25
Ahora sí podemos multiplicarlos:
⁶√8 · ⁶√25 = ⁶√200
Esta técnica resulta especialmente útil cuando aparecen raíces de diferentes índices dentro de una misma operación.
Segunda ley: cociente de radicales con el mismo índice
Dos radicales con el mismo índice también pueden dividirse:
ⁿ√a / ⁿ√b = ⁿ√(a/b)
siempre que el denominador sea distinto de cero.
Por ejemplo:
√50 / √2 = √(50/2)
= √25
= 5
Otro ejemplo:
³√54 / ³√2 = ³√27 = 3
La operación también puede realizarse al revés. Si tenemos:
√(36/4)
podemos escribir:
√36 / √4 = 6/2 = 3
Tercera ley: potencia de un radical
Cuando elevamos un radical a una potencia, podemos elevar su radicando manteniendo el mismo índice:
(ⁿ√a)ᵐ = ⁿ√(aᵐ)
Por ejemplo:
(√5)² = √(5²)
= √25
= 5
Otro caso:
(³√2)⁴ = ³√(2⁴)
= ³√16
Esta propiedad también puede interpretarse mediante exponentes fraccionarios:
(ⁿ√a)ᵐ = a^(m/n)
Qué ocurre cuando el exponente coincide con el índice
Se produce una simplificación especialmente importante.
Por ejemplo:
(³√7)³ = 7
De forma general:
(ⁿ√a)ⁿ = a
siempre que el radical esté definido en el conjunto numérico con el que estamos trabajando.
Con una raíz cuadrada:
(√11)² = 11
La potencia y la raíz actúan aquí como operaciones inversas.
Cuarta ley: raíz de una raíz
Cuando tenemos un radical dentro de otro radical, los índices se multiplican:
ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐⁿ√a
Por ejemplo:
√(³√64)
Los índices son 2 y 3:
2 × 3 = 6
Por tanto:
√(³√64) = ⁶√64
Como:
2⁶ = 64
obtenemos:
⁶√64 = 2
Otro ejemplo:
³√(⁴√256) = ¹²√256
No siempre el resultado final será un número entero, pero la propiedad permite convertir dos radicales consecutivos en uno solo.
Quinta ley: simplificación del índice y del exponente
Una expresión como:
⁶√(a²)
puede simplificarse cuando el índice y el exponente tienen un divisor común.
En este caso:
MCD(6, 2) = 2
Dividimos ambos entre 2:
⁶√(a²) = ³√a
en las condiciones en las que ambas expresiones están definidas de forma equivalente.
Otro ejemplo:
⁸√(x⁴) = √x
porque podemos dividir índice y exponente entre 4.
Esta propiedad se entiende fácilmente mediante exponentes:
x^(4/8) = x^(1/2)
y:
x^(1/2) = √x
Sexta ley: radicales equivalentes
Podemos multiplicar simultáneamente el índice y el exponente del radicando por el mismo número para obtener un radical equivalente.
De forma general:
ⁿ√(aᵐ) = ᵏⁿ√(aᵏᵐ)
Por ejemplo:
√2 = ⁴√(2²)
Por tanto:
√2 = ⁴√4
Otro ejemplo:
³√(x²) = ⁶√(x⁴)
Esta propiedad resulta especialmente útil para reducir radicales a un índice común antes de multiplicarlos o dividirlos.
Séptima ley: extracción de factores de un radical
Una de las operaciones más utilizadas consiste en sacar fuera de la raíz aquellos factores que forman una potencia completa del índice.
Veamos:
√72
Descomponemos:
72 = 36 · 2
Entonces:
√72 = √(36 · 2)
Aplicando la propiedad del producto:
√72 = √36 · √2
Como √36 = 6:
√72 = 6√2
Hemos simplificado el radical sin calcular un número decimal.
Ejemplo de simplificación con raíz cúbica
Tenemos:
³√54
Descomponemos:
54 = 27 · 2
Entonces:
³√54 = ³√27 · ³√2
Como:
³√27 = 3
obtenemos:
³√54 = 3³√2
La idea consiste en localizar dentro del radicando una potencia perfecta cuyo exponente coincida con el índice.
Cómo simplificar radicales mediante factorización
Cuando el número no permite detectar fácilmente una potencia perfecta, podemos descomponerlo en factores primos.
Por ejemplo:
√180
Descomponemos:
180 = 2² · 3² · 5
Como estamos trabajando con una raíz cuadrada, podemos sacar fuera los factores que aparezcan en grupos de dos:
√180 = 2 · 3 · √5
Por tanto:
√180 = 6√5
Con una raíz cúbica buscaríamos grupos de tres factores iguales.
Por ejemplo:
³√432
Factorizamos:
432 = 2⁴ · 3³
Separamos:
³√(2³ · 2 · 3³)
Sacamos los cubos perfectos:
2 · 3 · ³√2
Resultado:
6³√2
Octava ley: introducir factores dentro de un radical
También podemos realizar la operación contraria.
Si tenemos:
3√2
podemos introducir el 3 dentro de una raíz cuadrada elevándolo al cuadrado:
3√2 = √(3² · 2)
= √18
Con una raíz de índice n, el factor que introducimos debe elevarse a ese mismo índice.
Por ejemplo:
2³√5
El 2 entra elevado al cubo:
2³√5 = ³√(2³ · 5)
= ³√40
Esta propiedad resulta útil para comparar radicales o transformar expresiones antes de realizar otras operaciones.
Cómo sumar y restar radicales
La suma y la resta funcionan de manera diferente al producto y al cociente.
Solo podemos sumar directamente radicales semejantes, es decir, aquellos que tienen el mismo índice y el mismo radicando después de simplificarlos.
Por ejemplo:
3√2 + 5√2 = 8√2
Se suman los coeficientes:
(3 + 5)√2 = 8√2
Otro ejemplo:
7³√5 – 2³√5 = 5³√5
El radical permanece igual.
A veces hay que simplificar antes de sumar
Consideremos:
√8 + √18
A primera vista los radicandos son diferentes.
Simplificamos cada uno:
√8 = √(4 · 2) = 2√2
√18 = √(9 · 2) = 3√2
Ahora tenemos radicales semejantes:
2√2 + 3√2 = 5√2
Por tanto:
√8 + √18 = 5√2
Esta es una de las razones por las que conviene simplificar los radicales antes de operar con ellos.
La raíz de una suma no se puede separar
Una propiedad fundamental que conviene recordar es que:
√(a + b) ≠ √a + √b
en general.
Por ejemplo:
√(9 + 16) = √25 = 5
Pero:
√9 + √16 = 3 + 4 = 7
Como:
5 ≠ 7
queda claro que la propiedad del producto no puede aplicarse a una suma.
Lo mismo ocurre con una resta:
√(a – b)
no puede transformarse de manera general en:
√a – √b
Producto de radicales con coeficientes
Cuando aparecen números delante de los radicales, primero multiplicamos los coeficientes y después los radicales.
Por ejemplo:
2√3 · 5√6
Multiplicamos los coeficientes:
2 · 5 = 10
Multiplicamos los radicales:
√3 · √6 = √18
Tenemos:
10√18
Simplificamos:
√18 = 3√2
Por tanto:
10 · 3√2 = 30√2
Resultado:
30√2
División de radicales con coeficientes
Tenemos:
12√18 / 3√2
Dividimos los coeficientes:
12 / 3 = 4
Después:
√18 / √2 = √9 = 3
Finalmente:
4 · 3 = 12
Por tanto:
12√18 / 3√2 = 12
Cómo trabajar con exponentes fraccionarios
Los exponentes racionales permiten transformar un radical en una potencia:
a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)
Por ejemplo:
8^(2/3)
Puede interpretarse como:
³√(8²)
o también:
(³√8)²
Como:
³√8 = 2
obtenemos:
2² = 4
Así:
8^(2/3) = 4
Esta equivalencia resulta especialmente útil en álgebra, ecuaciones y cálculo.
Qué sucede con las raíces de índice par
Cuando trabajamos con números reales, una raíz de índice par no puede tener un radicando negativo.
Por ejemplo:
√(-9)
no es un número real.
Tampoco lo es:
⁴√(-16)
En cambio, las raíces de índice impar sí admiten radicandos negativos:
³√(-8) = -2
porque:
(-2)³ = -8
Esta diferencia debe tenerse presente antes de aplicar las propiedades de los radicales.
Por qué √(x²) no siempre es x
Esta igualdad requiere una precisión especialmente relevante:
√(x²) = |x|
y no simplemente x.
Si x = 5:
√(5²) = √25 = 5
Pero si x = -5:
√((-5)²) = √25 = 5
No obtenemos -5.
Por eso:
√(x²) = |x|
El símbolo |x| representa el valor absoluto de x.
En raíces impares la situación es diferente:
³√(x³) = x
para cualquier número real x.
Simplificación de radicales con variables
Supongamos:
√(36x⁴y³)
Podemos separar los factores que son cuadrados perfectos:
36 = 6²
x⁴ = (x²)²
y³ = y² · y
Entonces:
√(36x⁴y³) = √(6² · (x²)² · y² · y)
Sacamos los cuadrados:
6x²|y|√y
Si en el ejercicio se establece que las variables son positivas, puede escribirse:
6x²y√y
Las condiciones sobre las variables son relevantes cuando trabajamos rigurosamente con raíces pares.
Ejemplo completo combinando varias propiedades
Simplifiquemos:
√12 · √6 / √2
Primero aplicamos el producto:
√12 · √6 = √72
Después dividimos:
√72 / √2 = √36
Finalmente:
√36 = 6
También podríamos hacerlo en una sola expresión:
√(12 · 6 / 2)
= √36
= 6
Este tipo de ejercicio muestra cómo varias leyes pueden utilizarse consecutivamente.
Otro ejemplo completo
Simplifiquemos:
2√18 + 3√8 – √50
Primero simplificamos cada radical:
√18 = 3√2
√8 = 2√2
√50 = 5√2
Sustituimos:
2(3√2) + 3(2√2) – 5√2
Multiplicamos:
6√2 + 6√2 – 5√2
Operamos los coeficientes:
(6 + 6 – 5)√2
Resultado:
7√2
Racionalización de un denominador con una raíz
Las propiedades de los radicales también permiten eliminar raíces del denominador de una fracción.
Supongamos:
1 / √2
Multiplicamos numerador y denominador por √2:
(1 · √2) / (√2 · √2)
Como:
√2 · √2 = 2
obtenemos:
√2 / 2
Las dos expresiones representan el mismo número, pero la segunda tiene un denominador racional.
Racionalización cuando aparece un coeficiente
Consideremos:
3 / (2√5)
Multiplicamos arriba y abajo por √5:
3√5 / (2√5 · √5)
El denominador queda:
2 · 5 = 10
Por tanto:
3 / (2√5) = 3√5 / 10
Esta transformación aparece con frecuencia en ejercicios de radicales.
Qué ocurre cuando el denominador tiene una suma
Si aparece una expresión como:
1 / (√3 + 1)
no basta con multiplicar simplemente por √3.
Se utiliza el conjugado del denominador:
√3 – 1
Multiplicamos:
(√3 – 1) / ((√3 + 1)(√3 – 1))
En el denominador aplicamos:
(a + b)(a – b) = a² – b²
Por tanto:
(√3)² – 1² = 3 – 1 = 2
Resultado:
(√3 – 1) / 2
Cómo elegir la propiedad correcta
Antes de operar, conviene identificar qué tipo de expresión tenemos.
Si aparecen dos raíces multiplicándose con el mismo índice, utilizamos la propiedad del producto.
Si están dividiéndose, aplicamos la del cociente.
Si aparece una raíz dentro de otra, multiplicamos los índices.
Si queremos simplificar, buscamos potencias completas dentro del radicando.
Si queremos sumar o restar, primero comprobamos si los radicales pueden convertirse en radicales semejantes.
| Situación | Operación más útil |
| √a · √b | Multiplicar radicandos |
| √a / √b | Dividir radicandos |
| √(³√a) | Multiplicar índices |
| √72 | Extraer cuadrados perfectos |
| 3√2 | Introducir 3² en la raíz |
| √8 + √18 | Simplificar y después sumar |
| 1/√a | Racionalizar |
| ⁿ√(aᵐ) | Utilizar exponente m/n |
Ejercicios resueltos de leyes de los radicales
Ejercicio 1
Calcula:
√3 · √12
Aplicamos el producto:
√36 = 6
Resultado: 6
Ejercicio 2
Calcula:
³√40 / ³√5
Aplicamos el cociente:
³√8 = 2
Resultado: 2
Ejercicio 3
Simplifica:
√48
Descomponemos:
48 = 16 · 3
Entonces:
√48 = √16 · √3
= 4√3
Resultado: 4√3
Ejercicio 4
Calcula:
3√5 + 7√5 – 2√5
Sumamos y restamos coeficientes:
(3 + 7 – 2)√5
= 8√5
Resultado: 8√5
Ejercicio 5
Calcula:
√12 + √27
Simplificamos:
√12 = 2√3
√27 = 3√3
Sumamos:
2√3 + 3√3 = 5√3
Resultado: 5√3
Ejercicio 6
Simplifica:
³√(16x³)
Separamos:
16x³ = 8 · 2 · x³
Entonces:
³√(8 · x³ · 2)
Sacamos los cubos perfectos:
2x³√2
Resultado: 2x³√2
Ejercicio 7
Calcula:
√(⁴√256)
Multiplicamos los índices:
⁸√256
Como:
2⁸ = 256
obtenemos:
Resultado: 2
Las reglas que conviene recordar
Si necesitas quedarte con las ideas fundamentales, son estas:
Producto:
ⁿ√a · ⁿ√b = ⁿ√(ab)
Cociente:
ⁿ√a / ⁿ√b = ⁿ√(a/b)
Potencia:
(ⁿ√a)ᵐ = ⁿ√(aᵐ)
Raíz de otra raíz:
ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐⁿ√a
Exponente fraccionario:
ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n)
Y para sumar o restar:
aⁿ√x + bⁿ√x = (a + b)ⁿ√x
siempre que se trate de radicales semejantes.
Dominar las leyes de los radicales no consiste en aprender una colección de fórmulas aisladas. La mayoría puede deducirse comprendiendo que una raíz es una potencia con exponente fraccionario. Cuando esa relación queda clara, simplificar √72, operar radicales de distintos índices o racionalizar una fracción deja de ser una sucesión de reglas memorizadas y pasa a tener una lógica matemática común.
